SISTEMAS DE NUMERACIÓN POSICIONALES

SISTEMAS DE NUMERACIÓN CON BASE 2
Mostramos como podría trabajarse con el sistema binario y similarmente se trabajaría con las demás bases.

Material no estructurado: Granos de alverja, fríjol, zaragoza (unos 15 granos de cada clase); bolsas para bolis (unas 6 aproximadamente); cartulina (media, dividida en octavos); grapadora; pegante o cinta pegante; rotuladores; tijeras.
Material estructurado: Figuras geométricas hechas con la cartulina, ábaco.

a. Trabajo con material no estructurado.
· Seleccionar una cantidad determinada de granos de la misma especie.
· Agrupar de 2 en 2 e introducir en una bolsa de bolis. Marcar cada bolsa con la cantidad contenida.
· Continuar agrupando de 2 en 2, hasta agotar las posibilidades. Guardar en bolsas de bolis e ir rotulándolas.
· Utiliza la cartulina para diseñar una matriz como la siguiente y pegar las bolsas en la casilla correspondiente, colocando debajo de ellas un número que corresponda a la cantidad de ellas:

· Utiliza granos diferentes para reemplazar cada grupo de 2 por uno de ellos, y a los grupos de 2x2 por otro distinto, y así sucesivamente. Muestra en una matriz similar a la anterior, el nuevo arreglo.
· Hagamos ahora la representación simbólica de la situación planteada. Para ello, realizamos una matriz como la anterior, dibujando los objetos y las correspondientes agrupaciones:
· Completa la siguiente tabla:
· ¿cuántos dígitos se necesitan para escribir las cantidades en este sistema? ¿cuáles son?

b. Trabajo con material estructurado.
Se trata de representar las unidades de diferentes órdenes con algún material útil y fácil de manejar. En este caso usaremos cartulina:
Dibuja en la cartulina las siguientes figuras formadas por cuadrados:
Puedes hacer las siguientes cantidades: unidades sueltas (20), unidades de primer orden (10), unidades de segundo orden (5) y unidades de tercer orden (3). Recórtalas siguiendo el borde exterior. Escoge la cantidad de unidades que se indica a continuación, agrúpalas de dos en dos y vez realizando los cambios correspondientes por unidades de primer orden, de segundo o tercer orden, para tener escrito en base 2 los números que se indican a continuación. En cada caso, has un dibujo:
a. 3 b. 5 c. 9 d. 13 e. 17 f. 20

c. Expansión polinómica.

Consiste en escribir un número como suma de los productos de los dígitos que lo constituyen, por una potencia de la base.
Cuando tenemos un número escrito en base 2 y deseamos conocer su equivalente en base 10, podemos proceder como se ilustra en el siguiente ejemplo:

Es decir, 1011(2) = 11 (10)

Las operaciones anteriores pueden presentarse escribiendo el número en su desarrollo polinómico, así:

Encuentra el equivalente en el sistema decimal de los siguientes números:

a. 111(2) b. 110101(2) c. 10010111(2) d. 1010101(2)

Las acciones anteriores pueden realizarse valiéndonos de la matriz:
d. Para convertir rápidamente un número escrito en nuestro sistema decimal al sistema de base deseada, se realizan divisiones sucesivas entre el digito correspondiente a la base (2 en este caso) hasta cuando el último cociente sea menor que el divisor:

Por lo tanto 19(10) = 10011(2)

e. Operaciones en el sistema. Podemos realizar las operaciones básicas. Ilustramos a continuación la adición:

Los objetos sombreados corresponden a las respectivas conversiones en unidades de orden inmediatamente superior. Es lo que comúnmente se denomina “Llevamos”.
Realiza las siguientes sumas:
a. 11(2) + 11(2)
b. 1001(2) + 1011(2)
c. 11011(2) + 1011(2)

Ordena en forma ascendente: 101(2) , 110(2) , 1001(2) , 1011(2) , 11(2) , 1010

f. ¿Cómo se efectúa la multiplicación en este sistema de numeración? Ilustra en una matriz como la anterior.
g. Trabajo en un ábaco. Las acciones realizadas en la representación simbólica de las matrices, pueden ejecutarse en forma similar en un ábaco (preferiblemente vertical), teniendo en cuenta el sistema de numeración en el cual se esté trabajando. Se recomienda tener en cuenta las siguientes reglas, suponiendo que estamos trabajando en uno de base b:
· b unidades de un orden dado, pueden convertirse en una unidad de orden inmediatamente superior.
· Una unidad de cualquier orden, puede convertirse un b unidades del orden inmediatamente inferior.

OTRAS ACTIVIDADES.

1. Los Egipcios usaban el siguiente procedimiento para multiplicar:
· Por duplicación. Ejemplo: 14 x 35

· Por duplicación y división de mitades de los factores. Ejemplo: 35 x 16

i. Ensaya con otros números ambos métodos, hasta cuando aclares el algoritmo empleado.
ii. Usa propiedades de la aritmética de los números naturales para explicar los métodos empleados.
iii. Reflexiona sobre las posibilidades de uso en el aula, ubicando grado, prerrequisitos y posibilidades de contribución al desarrollo del pensamiento matemático del alumno.

2. Los Babilonios usaron una notación posicional de base 60 (sexagesimal) para escribir los números mediante el empleo de cuñas; sin embargo, los historiadores han usado una adaptación a la notación actual, así:
El número 3, 25, 1260 es la representación de 3 x 3600 + 25x60 + 12 = 12312

· Escribir en notación decimal los números 7, 31, 24, 1 y 0.12, 50, 49
· Escribir en notación sexagesimal los números 43251; ½ ; 2 / 3
· La escritura decimal del número 3 / 7 es:

Esta es la representación simplificada de cuál expresión?

· Que fracción representa el número decimal periódico

3. Una persona realiza la siguiente suma, pero su hermanito le ha borrado algunas cifras. ¿Qué cifras corresponden a los espacios? ¿En qué sistema de numeración se ha efectuado?

4. Se puede “adivinar” un número entero comprendido entre 1 y 1000, formulando únicamente como máximo 10 preguntas, a las que deberán contestarse solo con SI o NO. Se le pide a la persona que divida su número entre 2. Le preguntamos: ¿Queda residuo? Cuando responda SI, anotamos un 1; pero cuando responda NO, escribimos un 0. Se invita a continuar dividiendo cada cociente entre 2 y formulamos las mismas preguntas, anotando los dígitos dichos de acuerdo con la respuesta.
· ¿Por qué son necesarias únicamente 10 preguntas?
· ¿Cómo sabemos el número pensado? Has el ejercicio con uno de tus compañeros.

5. Al preguntarle a un profesor, cuántos estudiantes tenía en su grupo, respondió: “100 alumnos y de ellos, 24 son varones y 32 hembras”. La respuesta nos extrañó, pero después comprendimos que el maestro no había usado nuestro sistema decimal. ¿Cuál había usado?

6. Una persona piensa un número de 3 cifras, dígale que sume sus cifras y que este resultado lo reste del número pensado. Dígale que tache una cifra y que le comunique las restantes. Usted está en capacidad de indicar la cifra tachada. Analice el juego y explique en que se sustenta.

7. Propón que alguien piense un número de 3 cifras que no termine en cero. Que coloque las cifras en orden contrario y reste el número menor del número mayor, que invierta las cifras de este número y lo sume con la diferencia encontrada en la resta, el número resultante es 1089. ¿Por qué? ¿Existen casos en los cuales el juego no funciona?

REFERENCIAS:

· Campiglio, Alberto y Eugeni Vincenzo, De los dedos a la calculadora. Ediciones Paidos, Barcelona 1992.
· Fomín, S.V. Sistemas de numeración. Editorial MIR, Moscú, 1975
· Boyer, Carl. Historia de las matemáticas. Alianza Editorial, Madrid, 1999.
· Newman, James. Enciclopedia Sigma, Tomo 4. Editorial Grijalbo, Barcelona, 1985.
· Marquez, Cristina. Enseñar a pensar. Editorial Kapelusz, buenos Aires, 1985

ACTIVIDADES GEOMÉTRICAS CON MECANO

ACTIVIDADES GEOMÉTRICAS ELEMENTALES EMPLEANDO UN MECANO.

Un mecano es un material constituido por “tiras” (formas rectangulares) elaboradas con cartón, madera, aluminio o cualquier material resistente.
MATERIALES: Regla, escuadras, lápiz, tiras de cartón grueso u otro material resistente, exacto, tornillos pequeños con sus respectivas tuercas, hojas de papel sin rayas, hilo elástico, perforadora o taladro de acuerdo con el material a usar, rectángulo de cartón grueso de 20 x 30 cm.
CONFECCIÓN DEL MECANO.
Construye las tiras según se indica. Los orificios sombreados están centrados; los otros, espaciados a igual distancias. Los números debajo de cada tira las identifican:

Las cantidades de estas piezas serán:

CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS.

1) Intenta construir un triángulo usando los tornillos y las tiras 1, 2 y 4.
a. ¿Es posible?
Compara cada uno de los lados, con la suma de los otros dos. Escribe el resultado en cada caso.
2) Intenta construir un triángulo usando los tornillos y las tiras 1, 2 y 3.
a. ¿Es posible?
Compara cada uno de los lados, con la suma de los otros dos. Escribe el resultado en cada caso.
3) Intenta construir un triángulo usando los broches y las tiras 1, 3 y 4.
a. ¿Es posible?
Compara cada uno de los lados, con la suma de los otros dos. Escribe el resultado en cada caso.
4) Intenta construir un triángulo usando los tornillos y las tiras 2, 3 y 4.
a. ¿Es posible?
Compara cada uno de los lados, con la suma de los otros dos. Escribe el resultado en cada caso.
5) Teniendo en cuenta los resultados de las actividades anteriores:
a. ¿En qué casos se puede construir un triángulo, conociendo la medida de los posibles lados?
b. Construye un triángulo, colócalo verticalmente y presiona suavemente por uno de sus vértices o uno de sus lados. ¿Se deforma el triángulo?
6) Construye ahora un triángulo que tenga dos lados iguales.
7) Construye un triángulo que tenga todos sus lados iguales.

CONSTRUCCIÓN DE CUADRILATEROS.

1. Escoge cuatro tiras de diferentes longitudes. Construye un cuadrilátero. ¿Siempre es posible esta construcción? ¿En cuáles casos no es posible?
Escoge cuatro tiras de igual longitud y construye un cuadrado. Colocándolo verticalmente y presionado suavemente en uno de sus vértices o uno de sus lados:
¿Qué sucede?
¿Qué figura se forma? Si continuamos presionando suavemente:
i. ¿Cuántas figuras parecidas se pueden formar?
ii. ¿Qué pasa con los lados, ángulos, altura (distancia entre lados opuestos) y diagonales?
iii. ¿Qué figura se obtiene cuando no podamos continuar presionando?
iv. Si partimos de esta última situación y procedemos en forma inversa, ¿Qué figuras obtenemos?
En el cuadrado anterior, fijemos con hilo elástico sus diagonales de modo que queden tirantes. Si realizamos el proceso anterior:
¿Qué pasa con las diagonales?
¿Qué posición tienen las diagonales entre si?
¿Qué podemos afirmar de las sumas de las medidas de las diagonales en las diferentes configuraciones?
¿Qué pasa en el caso límite? ¿Con que coincide esta suma?
2. Escoge cuatro tiras iguales de dos en dos. Construye un cuadrilátero.
¿Qué nombre recibe este cuadrilátero?
Colocándolo verticalmente y presionado suavemente en uno de sus vértices o uno de sus lados:
i. ¿Qué sucede?
ii. ¿Qué figura se forma? Si continuamos presionando suavemente: ¿Qué elementos se conservan y cuáles cambian?
iii. ¿Qué pasa con las diagonales?
iv. ¿Qué figura se obtiene cuando no podamos continuar presionando?
v. Si partimos de esta última situación y procedemos en forma inversa, ¿Qué figuras obtenemos? vi. ¿Qué te sugiere estas transformaciones?
3. Escoge dos tiras iguales y únelas mediante los tornillos por su punto medio. Pasa a continuación hilo elástico por los orificios de los extremos. Si vamos separando las tiras, ¿Qué figuras van apareciendo? ¿Qué te sugiere estas transformaciones?
Escoge dos tiras de longitudes diferentes y únelas mediante los tornillos por su punto medio. Pasa a continuación hilo elástico por los orificios de los extremos. Si vamos separando las tiras, ¿Qué figuras van apareciendo? ¿Qué te sugiere estas transformaciones?
4. Escoge cuatro tiras de diferentes longitudes de modo que permitan construir un cuadrilátero. Presiona suavemente por uno de los vértices hasta cuando logres tener dos lados paralelos. ¿Qué figura resulta? Desatornilla uno de los vértices de uno de los lados no paralelos y gira dicho lado alrededor del otro vértice de modo que formemos cuadriláteros con los otros tres lados fijos. ¿Qué figuras obtenemos?

OTRAS ACTIVIDADES.

1. Utiliza tres tiras de diferentes longitudes para construir un triángulo. Llamaremos Base a la tira con perforaciones. Cambia la posición del extremo B, desplazando la tira CB hacia la izquierda, uniéndola con AB por los diferentes orificios de AB. ¿Qué elementos cambian? ¿Dónde se aplica en la vida real?
2. Utiliza un cartón fuerte de 20 x 30 cm. para montar el mecanismo ilustrado en el dibujo, el cual consta de dos tiras de cartón de modo que AC = BC = DC. Inmoviliza el punto A e introduce un tornillo por el orificio en B y por la ranura practicada en el cartón (a está alineado con B). Desplaza el tornillo ubicado en B por la rendija. ¿Qué trayectoria recorre el punto D? Introduce la punta de un lápiz en los orificios de DB, mueve el mecanismo y describe la trayectoria de los puntos. ¿En qué orificio se debe introducir el lápiz para que la trayectoria sea circular?

3. Utiliza las tiras de cartón necesarias para construir el modelo del mecanismo representado en la figura. El sistema se halla fijo en O.

¿Qué tipo de figuras lo conforman? ¿Dónde se utiliza? ¿Para que se emplea?
Halla la distancia desde O hasta A y desde O hasta B, para diferentes posiciones después de mover el mecanismo. ¿Qué relación encuentras?
¿Se mueve B en la misma dirección, cundo desplazamos el mecanismo moviendo A?
Si A se aleja de O, en línea recta, ¿cuáles son los recorridos de P, Q y R?
Construye un cuadrilátero cualquiera con las tiras de cartón. Utiliza hilo elástico para unir los puntos medios de los lados. ¿Qué figura forma el hilo que conecta los puntos medios de los lados? Deforma el cuadrilátero: ¿Qué pasa con la figura formada por el hilo?
Escoge tres tiras de cartón, dos de igual longitud y la otra más larga que éstas. Pega en una tabla, una hoja de papel en blanco y construye encima la estructura mostrada en la figura. Los puntos D y C se fijan a la tabla mediante chinches y los A y B con tornillos y tuercas o con broches. Tener cuidado de que el sistema pueda girar libremente alrededor de los cuatro puntos.

¿Qué figura corresponde a la unión de los puntos A, B, C y D?
Mueve el sistema: ¿Qué tipo de movimiento realiza la tira AB?
¿Cuál es la trayectoria del punto A?
Coloca la punta de un lápiz en uno de los orificios de la tira AB y dibuja el camino que recorre durante su movimiento.
¿Qué relación tiene este camino con el que sigue A?
Si giramos la tira un ángulo de 30º, ¿cuál será la medida del ángulo girado por la tira BC?

REFERENCIAS.
· Castelnovo, Emma. Didáctica de la matemática moderna, segunda edición. Editorial Trillas, México, 1993
· Bolt, Brain. Matemáquinas. Editorial Labor, Barcelona, 1992.
· Bolt, Brain. Divertimentos matemáticos. Editorial Labor, Barcelona, 1988.
· Bolt, Brain. Más actividades matemáticas. Editorial Labor, Barcelona, 1990.

"Demostración del Teorema de Pitágoras"

Se dice que un triangulo es recto o rectángulo, cuando tiene un ángulo que mide 90º. Los lados que forman el ángulo recto, se llaman catetos y el otro lado, hipotenusa.
Primera Parte:
a. Dibuja en cartulina, un triángulo rectángulo.
b. Construye cuadrados sobre cada uno de los lados. Coloca las letras como se indica en el dibujo.
c. Desde D, dibuja un segmento paralelo al cateto AC y que llegue hasta el lado CB.
d. Desde C, dibuja un segmento paralelo al cateto AB y que llegue hasta el dibujado en el paso c.
e. Desde E, dibuja un segmento paralelo al cateto AB y que llegue hasta el dibujado en el paso c.
f. Halla la diferencia entre las magnitudes de los catetos. Con esta medida, partiendo de E, copia un segmento sobre el dibujado en el paso e.
g. Por el extremo izquierdo del segmento dibujado en f., levanta una perpendicular hasta el segmento DE.
h. Recorta las 5 regiones en las cuales queda dividido el cuadrado dibujado sobre la hipotenusa.
i. Cubre con estas piezas, los cuadrados dibujados sobre los catetos
“Demostración del teorema de Pitágoras”.
Segunda parte:
Dibuja en cartulina, un triángulo rectángulo con catetos de diferentes longitudes.
Construye cuadrados sobre cada uno de sus lados.
Traza una paralela a la hipotenusa y que pase por el centro del cuadrado construido sobre el cateto de mayor longitud.
En el centro de este cuadrado, traza una perpendicular a la recta dibujada anteriormente. El cuadrado queda dividido en cuatro regiones.
Cubre el cuadrado construido sobre la hipotenusa con el cuadrado construido sobre el cateto menor y con las cuatro regiones en que se dividió el otro cuadrado construido sobre el cateto mayor.
¿Qué conclusión puedes escribir de acuerdo con lo observado en estas dos últimas actividades?

Matemáticas para sexto grado